[Bỏ túi ngay] Cách chứng minh bất đẳng thức Cosi và ví dụ minh họa

[Bỏ túi ngay] Cách chứng minh bất đẳng thức Cosi và ví dụ minh họa

Bất đẳng thức Cosi là một khái niệm toán học thường được sử dụng trong các bài toán ở bậc trung học phổ thông. Ngay từ khi tiểu học, học sinh đã được làm quen với trung bình cộng, trung bình nhân. Càng học cao, bất đẳng thức còn được đưa vào sách toán với nhiều dạng khác nhau. Hãy cùng tìm hiểu về khái niệm cũng như cách phân loại của nó qua bài viết dưới đây.

1. Khái niệm về bất đẳng thức Cosi

Trong toán học, người dùng tại Việt Nam rất quen thuộc với bất đẳng thức cosi, hay gọi là bất đẳng thức Cauchy. Nhưng trên thực tế, tên gọi chính xác của khái niệm này là bất đẳng thức AM-GM (Viết tắt của Arithmetic Means – Geometric Means). Người có cách chứng minh bất đẳng thức này hay nhất chính là Cauchy. Ông không phải là người phát hiện ra bất đẳng thức mà chỉ là người đưa ra cách chứng minh quy nạp điển hình nhất. 

2. Cách chứng minh bất đẳng thức Cosi

2.1. Chứng minh bất đẳng thức Cosi với 2 số thực a, b không âm

Ta thấy với a = 0 hoặc b = 0 thì ta thấy bất đẳng thức luôn đúng. Vì vậy chúng ta chỉ chứng minh bất đẳng thức Cosi với 2 số dương mà thôi:

<=> 

<=> 

<=>  ( vì a, b >0) luôn đúng

=> Bất đẳng thức đã cho luôn đúng với ∀ a, b dương (đpcm)

2.2. Chứng minh bất đẳng thức Cosi với 3 số thực a, b, c không âm

với a = 0 hoặc b = 0 hoặc c= 0 thì bất đẳng thức luôn đúng. Vì thế chúng ta cũng chỉ chứng minh bất đẳng thức Cosi với 3 số dương mà thôi:

2.3. Chứng minh bất đẳng thức Cosi với 4 số thực a, b, c, d không âm

với a = 0 hoặc b = 0 hoặc c= 0 hoặc d = 0 thì bất đẳng thức luôn đúng. Vì thế chúng ta cũng chỉ chứng minh bất đẳng thức Cosi với 4 số dương mà thôi:

2.4. Chứng minh bất đẳng thức Cosi với n số thực không âm

Chứng minh bất đẳng thức Cosi với n số dương

3. Ví dụ sử dụng bất đẳng thức Cosi để chứng minh bất đẳng thức

Các em theo dõi các ví dụ dưới đây:

Trên đây PUD đã giới thiệu cùng bạn một số cách chứng minh bất đẳng thức Cosi và một số ví dụ minh họa. Hi vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn nhiều kiến thức hữu ích về Bất đẳng thức Cosi và các dạng toán liên quan. Chúc các bạn học tốt nhé !

  • Bài viết liên quan: Toàn bộ các quy tắc bất đẳng thức cô si cần nhớ

Trả lời

error: Content is protected !!