CÁCH VIẾT Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của hàm số bậc ba

CÁCH VIẾT Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của hàm số bậc ba

Bài toán viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số bậc ba đóng vai trò quan trọng và có nhiều dạng toán cần sử dụng đường thẳng đi qua hai điểm cực trị. Trong một bài viết nhỏ này, https://giadinhphapluat.vn/ sẽ bàn về cách viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số bậc ba (nếu có ) và các ứng dụng của nó.

Điều kiện cần và đủ để hàm số bậc ba có điểm cực trị

Xét hàm số (y = ax^{3} + bx^{2} + cx + d (aneq 0)) có (y’ = 3ax^{2} + 2bx + c)

Hàm số có cực trị khi và chỉ khi phương trình y’= 0 có hai nghiệm phân biệt.

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm bậc 3

Hàm số bậc ba (y = f(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + d (aneq 0)) có hai điểm cực trị là (x_{1}, x_{2}).

Thực hiện phép chia f(x) cho f’(x) ta có:

f(x) = Q(x).f’(x) + Ax + B

Suy ra, ta có: (f(x)left{begin{matrix} y_{1} = f(x_{1} = Ax_{1} + B)& y_{2} = f(x_{2} = Ax_{2} + B) & end{matrix}right.)

Suy ra, các điểm ((x_{1};y_{1}), (x_{2};y_{2})) nằm trên đường thẳng y = Ax + B

Một số ví dụ áp dụng

Ví dụ 1: Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị của hàm số sau

a)

y = {x^3} - 2{x^2} - x + 1

b)

y = 3{x^2} - 2{x^3}

Giải:

a) Ta có:

 

y' = 3{x^2} - 4x - 1=0 có hai nghiệm phân biệt. Thực hiện phép chia y cho y' ta được

 

 

Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là y=-frac{{14}}{9}x+frac{7}{9}

y=-frac{{14}}{9}x+frac{7}{9}.

b) Ta có

y'=-6{x^2}-6x có hai nghiệm phân biệt nên hàm số có hai điểm cực trị. Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là:y = x

y = x

Ví dụ 2: Cho hàm số

y={x^3}-3m{x^2}+3left({{m^2}-1}right)x-{m^3} ( m là tham số )

a) Tìm

m để hàm số có cực đại cực tiểu.

b) Với

m như trên hãy viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số.

Giải:

a)  Ta có: y’=3{x^2}-6mx+3left({{m^2}-1}right)

y'=3{x^2}-6mx+3left({{m^2}-1}right)

Delta ‘=9{m^2}-9left({{m^2}-1}right)=9>0

Delta '=9{m^2}-9left({{m^2}-1}right)=9>0 forall m

Vậy hàm số luôn có cực đại, cực tiểu với mọi  m

m

b) Thực hiện phép chia y cho y’, ta được :

y=left({frac{1}{3}x-frac{m}{3}}right)y’+left({-2x-m}right)

y=left({frac{1}{3}x-frac{m}{3}}right)y'+left({-2x-m}right)

Khi đó, đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là: y=- 2x-m

y=- 2x-m

Ví dụ 3: Cho hàm số y=2{x^3}+3left({m – 1}right){x^2}+6left( {m – 2}right)x-1

y=2{x^3}+3left({m - 1}right){x^2}+6left( {m - 2}right)x-1(1)

Tìm m

m để hàm số (1) có đường thẳng đi qua hai điểm cực trị song song với đường thẳng y=-4x+1

Giải:

Ta có: y’=6{x^2}+6left({m-1}right)x+6left({m – 2}right)

y'=6{x^2}+6left({m-1}right)x+6left({m - 2}right)

Hàm số có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi

Delta ‘=9{left({m-1}right)^2}-36left({m-2}right)=9{left({m-3} right)^2}>0

Delta '=9{left({m-1}right)^2}-36left({m-2}right)=9{left({m-3} right)^2}>0

Leftrightarrow m ne 3

Leftrightarrow m ne 3 (1)

Thực hiện phép chia y

y cho y' ta có phương trình đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu là:

y=left({-{m^2}+6m-9}right)x-{m^2}+3m-3

y=left({-{m^2}+6m-9}right)x-{m^2}+3m-3.

Để đường thẳng đi qua các điểm cực trị song song với đường thẳng y=-4x+1

y=-4x+1 ta phải có:

left{begin{array}{l} – {m^2}+6m-9= – 4\ – {m^2}+3m-3ne 1\ end{array}right.Leftrightarrow left{begin{array}{l} m=1vee m=5\ {m^2}-3m+4ne 0\ end{array}right.Leftrightarrow m=1vee m=5

left{begin{array}{l} – {m^2}+6m-9= – 4\ – {m^2}+3m-3ne 1\ end{array}right.Leftrightarrow left{begin{array}{l} m=1vee m=5\ {m^2}-3m+4ne 0\ end{array}right.Leftrightarrow m=1vee m=5

Kết hợp với điều kiện (1), ta có giá trị m

m cần tìm là : m=1; m=5

Ví dụ 4: Cho hàm số y={x^3}+m{x^2}+7x+3

y={x^3}+m{x^2}+7x+3Tìm m để đường thẳng đi qua cực đại cực tiểu của đồ thị hàm số vuông góc với đường thẳng y=frac{3}{{10}}x+2012 y=frac{3}{{10}}x+2012.

Giải:

Ta có: y’=3{x^2}+2mx+7

y'=3{x^2}+2mx+7

Hàm số có cực đại, cực tiểu

Delta ‘={m^2}-21>0Leftrightarrow left[ begin{array}{l} m>sqrt {21}\ m<-sqrt {21}\ end{array}right.left(*right)

Delta ‘={m^2}-21>0Leftrightarrow left[ begin{array}{l} m>sqrt {21}\ m<-sqrt {21}\ end{array}right.left(*right)

Thực hiện phép chia y

y cho y' ta có phương trình đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu là:

y=left({frac{{14}}{3}-frac{{2{m^2}}}{9}}right)x+frac{{27-7m}}{9}

y=left({frac{{14}}{3}-frac{{2{m^2}}}{9}}right)x+frac{{27-7m}}{9}

Để đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu của hàm sô vuông góc với đường thẳng y=3x-7

y=3x-7, ta phải có:

frac{3}{{10}}left({frac{{14}}{3}-frac{{2{m^2}}}{9}}right)=-1Leftrightarrow m=pm 6

frac{3}{{10}}left({frac{{14}}{3}-frac{{2{m^2}}}{9}}right)=-1Leftrightarrow m=pm 6 thỏa điều kiện (*).

Bài viết trên đây https://giadinhphapluat.vn/ đã giới thiệu đến các bạn chủ đề phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của hàm số bậc 3. Hi vọng bài viết đã phục vụ tốt cho bạn trong quá trình học tập, nghiên cứu. Chúc các các bạn tốt nhé !
  • Xem thêm: Tìm hiểu về căn thức bậc hai: Định nghĩa, Tính chất và Bài tập

Trả lời