Dạng 2: Đường tròn (C) đi qua hai điểm A, B và tiếp xúc với đường thẳng (Delta)

Dạng 3: Đường tròn (C) đi qua điểm A và tiếp xúc với đường thẳng (Delta) tại điểm B.

• Viết phương trình đường trung trực d của đoạn AB
• Viết phương trình đường thẳng (Delta ‘) đi qua B và (perp Delta)
• Xác định tâm I là giao điểm của d và (Delta ‘)
• Bán kính R = IA

Ví dụ 3: Viết phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với trục hoành tại A(6,0) và đi qua điểm B(9,9)

Giải: Gọi I(a,b) là tâm đường tròn (C)

Vì (C) tiếp xúc với trục hoành tại A(6;0) nên (I epsilon d: x = 6)

Mặt khác B nằm trên đường tròn (C) nên I sẽ nằm trên trung trực của AB

Ta có phương trình trung trực AB: x + 3y – 21 = 0

Thay x = 6 => y = 5
Suy ra ta tìm được tọa độ điểm I(6;5), R = 5

Vậy phương trình đường tròn (C): ((x-6)^{2} + (y – 5)^{2} = 25)

Phương trình đường tròn tiếp xúc với 2 đường thẳng

Dạng 1: Đường tròn (C) đi qua điểm A và tiếp xúc với hai đường thẳng (Delta _{1}, Delta _{2})

Dạng 2: Đường tròn (C) tiếp xúc với hai đường thẳng (Delta _{1}, Delta _{2}) và có tâm nằm trên đường thẳng d.

• Tâm I của (C) thỏa mãn (left{begin{matrix} d(I,Delta _{1}) = d(I,Delta _{2})& Iepsilon d & end{matrix}right.)

• Bán kính (R = d(I,Delta _{1}))

Ví dụ 5: Viết phương trình đường tròn đi qua A(2,-1) và tiếp xúc với hai trục tọa độ

Giải: Gọi I(a,b) là tâm của đường tròn (C)

Do (C) tiếp xúc với 2 trục tọa độ nên I cách đều 2 trục tọa độ. Suy ra: |a| = |b|

Nhận xét: Do đường tròn tiếp xúc với 2 trục tọa độ nên cả hình tròn nằm trong 1 trong 4 góc của hệ trục, lại có A(2, -1) thuộc phần tư thứ IV

=> Tâm I thuộc phần tư thứ IV => a > 0, b < 0

Như vậy tọa độ tâm là I(a, -a), bán kính R = a, với a > 0

Ta có phương trình đường tròn (C) có dạng ((x-a)^2 + (y+a)^2 = a^2)

Do A (-2;1) thuộc đường tròn (C) nên thay tọa độ của A vào phương trình (C) ta được: ((2-a)^2 + (1+a)^2 = a^2)

Giải phương trình ta được a = 1 hoặc a=5

• Với a = 1 ta có phương trình (C) ((x-1)^2 + (y+1)^2 = 1)

• Với a = 5 ta có phương trình (C) ((x-5)^2 + (y+5)^2 = 5^2)

Bài tập vận dụng

Bài 1. Viết phương trình đường tròn có tâm ?(3;−1)I(3;−1), bán kính ?=2R=2.

Giải. Phương trình đường tròn tâm ?(3;−1)I(3;−1), bán kính ?=2R=2 là (?−3)2+(?+1)2=4(x−3)2+(y+1)2=4.

Bài 2. Viết phương trình đường tròn có tâm ?(0;3)I(0;3) và đi qua ?(3;−2)A(3;−2).

Giải. Ta có ??→=(3;−5)IA→=(3;−5). Bán kính đường tròn là ?=??=9+25−−−−−−√=34−−−√R=IA=9+25=34. Vậy phương trình đường tròn là ?2+(?−3)2=34x2+(y−3)2=34.

Bài 3. Viết phương trình đường tròn nhận ??AB làm đường kính biết ?(1;6)A(1;6) và ?(4;5)B(4;5).

Giải. Gọi ?I là tâm của đường tròn, ta có ?I là trung điểm ??AB nên ?(52;112)I(52;112). Ta có ??=(3;−1)AB→=(3;−1) suy ra ??=9+1−−−−−√=10−−−√AB=9+1=10. Bán kính đường tròn là ?=??2=10−−−√2R=AB2=102. Vậy phương trình đường tròn cần tìm là:

(?−52)2+(?−112)2=52(x−52)2+(y−112)2=52

Bài 4. Viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm ?(4;1)A(4;1), ?(3;4)B(3;4), ?(1;0)C(1;0).

Giải. Phương trình đường tròn có dạng ?2+?2−2??−2??+?=0x2+y2−2ax−2by+c=0. Vì đường tròn này đi qua các điểm ?,?,?A,B,C nên ta có hệ phương trình

⎧⎩⎨17−8?−2?+?=025−6?−8?+?=01−2?+?=0⇔⎧⎩⎨?=2?=2?=3{17−8a−2b+c=025−6a−8b+c=01−2a+c=0⇔{a=2b=2c=3

Vậy phương trình đường tròn là ?2+?2−4?−4?+3=0.x2+y2−4x−4y+3=0.

Bài 5. Viết phương trình tiếp tuyến ΔΔ của đường tròn ?2+?2−4?−4=0x2+y2−4y−4=0 biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng ?:?+7?+6=0d:x+7y+6=0.

Giải. Đường tròn đã cho có tâm ?(0;2)I(0;2), bán kính ?=0+4+4−−−−−−−−−√=22−−√R=0+4+4=22. Vì tiếp tuyến ΔΔ song song với ?d nên phương trình ΔΔ có dạng ?+7?+?=0x+7y+m=0 (với ?≠6m≠6). Vì ΔΔ tiếp xúc với đường tròn nên

⇔⇔⇔⇔?(?,Δ)=?|14+?|1+49−−−−−−√=22−−√|14+?|=20[?+14=20?+14=−20[?=6(loại)?=−34d(I,Δ)=R⇔|14+m|1+49=22⇔|14+m|=20⇔[m+14=20m+14=−20⇔[m=6(loại)m=−34

Vậy có 1 tiếp tuyến có phương trình ?+7?−34=0.x+7y−34=0.

Bài 6. Viết phương trình tiếp tuyến ΔΔ của đường tròn (?−3)2+(?+2)2=13(x−3)2+(y+2)2=13 biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng ?:3?−2?+1=0d:3x−2y+1=0.

Giải. Đường tròn đã cho có tâm ?(3;−2)I(3;−2), bán kính ?=13−−−√R=13. Vì tiếp tuyến ΔΔ vuông góc với ?d nên phương trình ΔΔ có dạng 2?+3?+?=02x+3y+m=0. Vì ΔΔ tiếp xúc với đường tròn nên

⇔⇔⇔?(?,Δ)=?|6−6+?|4+9−−−−−√=13−−−√|?|=13?=±13d(I,Δ)=R⇔|6−6+m|4+9=13⇔|m|=13⇔m=±13

Vậy có 2 tiếp tuyến có phương trình 2?+3?±13=0.

Với những kiến thức PUD chia sẻ trên đây, hi vọng bạn đã nắm vững phần kiến thức về phương trình đường tròn tiếp xúc với đường thẳng. Còn rất nhiều phần kiến thức hữu ích khác đang chờ bạn khám phá tại PUD. hãy luôn cập nhật để dõi theo nhé !

• Xem thêm: Hướng dẫn phương pháp viết phương trình tiếp tuyến đầy đủ nhất