Chuyên đề về phương trình mặt cầu trong không gian Oxyz

Chuyên đề về phương trình mặt cầu trong không gian Oxyz

Phương trình mặt cầu trong không gian Oxyz là gì? Cách viết phương trình mặt cầu trong không gian Oxyz ra sao và có các dạng bài tập nào cần lưu tâm? Tất cả sẽ được PUD giải đáp chi tiết qua bài viết sau đây. Các bạn cùng theo dõi nhé !

Mặt cầu là gì ?

Định nghĩa:

Cho điểm O cố định và một số thực dương R. Tập hợp tất cả những điểm M trong không gian cách O một khoảng R được gọi là mặt cầu tâm O bán kính R.

Kí hiệu:

S( O;R) Suy ra: S( O;R) = {M/OM=R}

Cách viết phương trình mặt cầu trong không gian Oxyz

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu I(a, b, c) bán kính R. Khi đó phương trình mặt cầu tâm I(a,b,c) bán kính R có dạng là: ((x-a)^{2}+(b-y)^{2})+(c-z)^{2}= R^{2})

Hoặc: (x^{2}+y^{2}+z^{2}-2ax-2cz+d=0) với (a^{2}+b^{2}+c^{2}> d)

Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu

Cho mặt cầu (S): ((x-a)^{2}+(b-y)^{2})+(c-z)^{2}= R^{2}) có tâm I, bán kính R và mặt phẳng (P): Ax+By+Cz+D=0

Ta có khoảng cách d từ mặt cầu (S) đến mặt phẳng (P):  

  • d > R: mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) không có điểm chung.
  • d = R: mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) tiếp xúc tại H.
  • d < R: mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn có tâm K là hình chiếu của I trên (P) và bán kính (r = sqrt{R^{2} – d ^{2}}).

Điểm H được gọi là tiếp điểm.

Mặt phẳng (P) được gọi là tiếp diện.

Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt cầu

Cho mặt cầu (S): ((x-a)^{2}+(b-y)^{2})+(c-z)^{2}= R^{2}) có tâm I, bán kính R và đường thẳng (Delta)

Ta có khoảng cách d từ mặt cầu (S) đến đường thẳng (Delta):

  • d > R: Đường thẳng (Delta) không cắt mặt cầu (S)
  • d = R: Đường thẳng (Delta) tiếp xúc với mặt cầu (S)
  • d < R: Đường thẳng (Delta) cắt mặt cầu (S) theo dây cung (AB = sqrt{R^{2} – d^{2}})

Các dạng bài tập về viết phương trình mặt cầu

Dạng 1: Viết phương trình mặt cầu biết tâm và bán kính

Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm (I (x_{0}, y_{0}, z_{0})) và bán kính R.

Thay tọa độ I và bán kính R vào phương trình, ta có:

(S): ((x – x_{0})^{2} + (y – y_{0})^{2} + (z – z_{0})^{2} = R^{2})

Ví dụ 1: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I(3; -5; -2) và bán kính R = 5

Cách giải

Thay tọa độ của tâm I và bán kính R ta có phương trình mặt cầu (S):

((x – 3)^{2} + (y – (-5))^{2} + (z – (-2))^{2} = 5^{2} Leftrightarrow (x – 3)^{2} + (y + 5)^{2} + (z + 2)^{2} = 25)

Dạng 2: Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính AB cho trước

  • Tìm trung điểm của AB. Vì AB là đường kính nên I là tâm trung điểm AB đồng thời là tâm của mặt cầu.
  • Tính độ dài IA = R.
  • Làm tiếp như bài toán dạng 1.

Ví dụ 2: Lập phương trình mặt cầu (S) có đường kính AB với A(4; −3; 7) và B(2; 1; 3)

Cách giải

Gọi I là trung điểm của AB, thì mặt cầu (S) có tâm I và bán kính

(r = frac{AB}{2} = IA = IB)

Ta có: Vì I là trung điểm của AB nên I có tọa độ (I(frac{4+2}{2};frac{-3+1}{2};frac{7+3}{2}) Rightarrow I(3; -1; 5))

(Rightarrow vec{IA} = (1; -2; 2))< /span>

(Rightarrow R = left | vec{IA} right | = sqrt{1^{2} + (-2)^{2} + 2^{2}} = 3)

Thay tọa độ của tâm I và bán kính R ta có phương trình mặt cầu (S):

((x – 3)^{2} + (y – (-1))^{2} + (z – 5)^{2} = 3^{2} Leftrightarrow (x – 3)^{2} + (y + 1)^{2} + (z – 5)^{2} = 9)

Dạng 3: Viết mặt cầu (S) qua 3 điểm A, B, C và có tâm thuộc mặt phẳng (P) cho trước.

  • Gọi I (a, b, c) là tâm mặt cầu (S) thuộc mặt phẳng (P)
  • Ta có hệ phương trình ([left{begin{matrix} IA = IB & IA = IC & I epsilon (P) & end{matrix}right.)
  • Giải hệ phương trình tìm được a, b, c sau đó thay vào 1 trong 2 phương trình trên để tìm bán kính mặt cầu.

Ví dụ 3: Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua 3 điểm A (2;0;1), B (1;0;0), C (1;1;1) và có tâm thuộc mặt phẳng (P): x + y + z – 2 = 0.

Cách giải

Gọi phương trình tổng quát (S): (x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0) với (a^{2} + b^{2} + c^{2} > d) (1)

Mặt cầu (S) có tâm (I (-a;-b;-c))

Từ đó ta có hệ phương trình:

(left{begin{matrix} 4 + 1 + 4a + 2c + d = 0 & 1 + 2c + d = 0 & 3 + 2a + 2b + 2c + d = 0 & -a -b -c -2 = 0 & end{matrix}right.)

(Leftrightarrow left{begin{matrix} 4a + 2c + d = -5 & 2c + d = -1 & 2a + 2b + 2c + d = -3 & a + b +b c = -2 & end{matrix}right.)

(Leftrightarrow left{begin{matrix} a = -1 & b = 0 & c = -1 & d = 1 & end{matrix}right.)

Vậy mặt cầu (S) có phương trình: (x^{2} + y^{2} + z^{2} + 1 = 0)

Trên đây là bài tổng hợp kiến thức về viết phương trình mặt cầu trong không gian cũng như các dạng bài tập viết phương trình mặt cầu. Hi vọng với những chia sẻ chi tiết trên đây của PUD, các bạn đã nắm chắc phần kiến thức vô cùng quan trọng này. Chúc các bạn học tốt nhé !

  • Xem thêm: CÁCH VIẾT Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của hàm số bậc ba

Trả lời

error: Content is protected !!