Kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức Cosi trong chứng minh Bất đẳng thức
Kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức Cosi trong chứng minh Bất đẳng thức là những kiến thức vô cùng quan trọng PUD muốn gửi tới quý độc giả. Bất đẳng thức Cosi có tên gọi chính xác là bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân. Đây là một bất đẳng thức cổ điển nổi tiếng và quen thuộc đối với phần lớn học sinh nước ta. Nó ứng dụng rất nhiều trong các bài Toán về bất đẳng thức và cực trị. Trong phạm vi bài viết nàu PUD sẽ cung cấp cho bạn một số Kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức Cosi trong chứng minh Bất đẳng thức. Cùng chia sẻ bạn nhé !
I. Khái niệm và các dạng biểu diễn của bất đẳng thức Cosi
1. Khái niệm về bất đẳng thức Cosi
Trong toán học, người dùng tại Việt Nam rất quen thuộc với bất đẳng thức cosi, hay gọi là bất đẳng thức Cauchy. Nhưng trên thực tế, tên gọi chính xác của khái niệm này là bất đẳng thức AM-GM (Viết tắt của Arithmetic Means – Geometric Means). Người có cách chứng minh bất đẳng thức này hay nhất chính là Cauchy. Ông không phải là người phát hiện ra bất đẳng thức mà chỉ là người đưa ra cách chứng minh quy nạp điển hình nhất.
Trong lĩnh vực toán học, bất đẳng thức cosi là khái niệm dùng để chỉ bất đẳng thức so sánh giữa trung bình cộng và trung bình nhân của n số thực không âm. Trong đó, trung bình cộng của n số thực không âm luôn lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng. Trung bình cộng chỉ bằng trung bình nhân khi và chỉ khi n số đó bằng nhau.
Ví dụ: Chứng minh bất đẳng thức côsi với 2 số thực a và b không âm
Với a=0, b=0 thì bất đẳng thức luôn luôn đúng. còn với a,b lớn hơn 0, ta có thể chứng minh như sau:
2. Các dạng biểu diễn của bất đẳng thức Cosi
2.1. Dạng tổng quát
+ Cho x1, x2, x3 ,…, xn là các số thực dương ta có:
2.2. Một số dạng đặc biệt
II. Một số kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cosi
1. Kỹ thuật chọn điểm rơi trong đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân
Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân thực chất đánh giá bất đẳng thức Cauchy theo chiều từ phía trái sang phía phải. Trong chuỗi đánh giá, cái ta hay quên đó là cần phải được bảo toàn dấu đẳng thức xẩy ra mà ta hay gọi là bảo toàn “Điểm rơi”. Một thực tế cho thấy việc xác định điểm rơi cho một bất đẳng thức quyết định đến hơn nửa thành công cho công việc tìm lời giải. Ý tưởng chính của chọn điểm rơi chính là việc xác định được dấu đẳng thức xảy ra khi nào để có thể sử dụng những đánh giá hợp lý. Trong quá trình chứng minh các bất đẳng thức ta thường gặp sai lầm là áp dụng ngay bất đẳng thức Cauchy mà quên mất dấu đẳng thức xảy ra tại đâu. Trước khi tìm hiểu về kĩ thuật đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân ta hãy xét một số ví dụ về chọn “Điểm rơi” dưới đây ta sẽ hiểu hơn vấn đề dạng được đề cập.
2. Những quy tắc chung trong chứng minh bất đẳng thức sử dụng bất đẳng thức Cosi
2.1. Quy tắc song hành:
Hầu hết các BĐT đều có tính đối xứng do đó việc sử dụng các chứng minh một cách song hành, tuần tự sẽ giúp ta hình dung ra được kết quả nhanh chóng và định hướng cách giả nhanh hơn.
2.2. Quy tắc dấu bằng:
Dấu bằng “ = ” trong BĐT là rất quan trọng. Nó giúp ta kiểm tra tính đúng đắn của chứng minh. Nó định hướng cho ta phương pháp giải, dựa vào điểm rơi của BĐT. Chính vì vậy mà khi dạy cho học sinh ta rèn luyện cho học sinh có thói quen tìm điều kiện xảy ra dấu bằng mặc dù trong các kì thi học sinh có thể không trình bày phần này. Ta thấy được ưu điểm của dấu bằng đặc biệt trong phương pháp điểm rơi và phương pháp tách nghịch đảo trong kỹ thuật sử dụng BĐT Cô Si.
2.3. Quy tắc về tính đồng thời của dấu bằng:
Không chỉ học sinh mà ngay cả một số giáo viên khi mới nghiên cứu và chứng minh BĐT cũng thương rất hay mắc sai lầm này. Áp dụng liên tiếp hoặc song hành các BĐT nhưng không chú ý đến điểm rơi của dấu bằng. Một nguyên tắc khi áp dụng song hành các BĐT là điểm rơi phải được đồng thời xảy ra, nghĩa là các dấu “ = ” phải được cùng được thỏa mãn với cùng một điều kiện của biến.
2.4. Quy tắc biên:
Cơ sở của quy tắc biên này là các bài toán quy hoạch tuyến tính, các bài toán tối ưu, các bài toán cực trị có điều kiện ràng buộc, giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm nhiều biến trên một miền đóng. Ta biết rằng các giá trị lớn nhất, nhỏ nhất thường xảy ra ở các vị trí biên và các đỉnh nằm trên biên.
2.5. Quy tắc đối xứng:
Các BĐT thường có tính đối xứng vậy thì vai trò của các biến trong BĐT là như nhau do đó dấu “ = ” thường xảy ra tại vị trí các biến đó bằng nhau. Nếu bài toán có gắn hệ điều kiện đối xứng thì ta có thể chỉ ra dấu “ = ” xảy ra khi các biến bằng nhau và mang một giá trị cụ thể. Chiều của BĐT : “ ≥ ”, “ ≤ ” cũng sẽ giúp ta định hướng được cách chứng minh: đánh giá từ TBC sang TBN và ngược lại.
Trên đây https://giadinhphapluat.vn/ đã giới thiệu cùng bạn một số cách kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức Cosi trong chứng minh Bất đẳng thức và một số ví dụ minh họa. Hi vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn nhiều kiến thức hữu ích về Bất đẳng thức Cosi và các dạng toán liên quan. Chúc các bạn học tốt nhé !
- Đừng bỏ lỡ: [Bỏ túi ngay] Cách chứng minh bất đẳng thức Cosi và ví dụ minh họa