[TÌM HIỂU] Chuyên đề phương trình lượng giác
Các dạng phương trình lượng giác
Phương trình sinx = m
Nếu (left | m right |)>1: Phương trình vô nghiệm
Nếu (left | m right |) (leq) 1 thì chọn 1 góc (alpha) sao cho (sin alpha = m).
Khi đó nghiệm của phương trình là (left{begin{matrix} x = alpha + k2pi & x = pi – alpha +k2pi & end{matrix}right.) với (k epsilon mathbb{Z})
Phương trình cosx = m
Nếu (left | m right |)>1: Phương trình vô nghiệm
Nếu (left | m right |) (leq) 1 thì chọn 1 góc (alpha) sao cho (cos alpha = m) .
Khi đó nghiệm của phương trình là (left{begin{matrix} x = alpha + k2pi & x = – alpha + k2pi & end{matrix}right.) với (k epsilon mathbb{Z})
Phương trình tanx = m
Chọn góc (alpha) sao cho (tan alpha = m).
Khi đó phương trình luôn có nghiệm với mọi m.
(tan x = tan alpha Leftrightarrow x = alpha + kpi (k epsilon mathbb{Z}))
Hoặc (tan x = m Leftrightarrow m – arctan m + kpi) (m bất kỳ)
Chú ý: (tan x = 0 Leftrightarrow x = kpi), (tan x) không xác định khi (x = frac{pi }{2} + kpi)
Phương trình cot(x) = m
Chọn góc (alpha) sao cho (csc alpha = m).
Khi đó phương trình luôn có nghiệm với mọi m.
(csc x = csc alpha Leftrightarrow x = alpha + kpi (kepsilon mathbb{Z})) Hoặc (cot x = m Leftrightarrow m = textrm{arccsc}m + kpi) (m bất kỳ)
Chú ý: (csc x = 0 Leftrightarrow x = frac{pi }{2} + kpi),
(csc x) không xác định khi (x = kpi)
Vòng tròn lượng giác cho các bạn tham khảo:
Phương trình lượng giác chứa tham số
Phương trình lượng giác chứa tham số dạng (asin x + b cos x = c) có nghiệm khi và chỉ khi (a^{2} + b^{2} geq c^{2})
Để giải phương trình lượng giác chứa tham số có hai cách làm phổ biến là:
- Thứ nhất đưa về phương trình lượng giác cơ bản
- Thứ hai sử dụng phương pháp khảo sát hàm
Phương pháp 1: Đưa về dạng phương trình lượng giác cơ bản
- Điều kiện có nghiệm của phương trình lượng giác
- Kết hợp những kiến thức đã học đưa ra các điều kiện làm cho phương trình dạng cơ bản có nghiệm thỏa điều kiện cho trước
Ví dụ: Xác định m để phương trình ((m^{2} – 3m + 2)cos ^{2}x = m(m-1)) (1) có nghiệm.
Cách giải
((1)Leftrightarrow (m-1)(m-2)cos ^{2}x = m (m-1)) (1’)
Khi m = 1: (1) luôn đúng với mọi (xepsilon mathbb{R})
Khi m = 2: (1) vô nghiệm
Khi (mneq 1; mneq 2) thì:
(1’) (Leftrightarrow (m-2)cos ^{2}x = m Leftrightarrow cos ^{2}x = frac{m}{m-2}) (2)
Khi đó (2) có nghiệm (Leftrightarrow 0leq frac{m}{m-2}leq 1Leftrightarrow mleq 0)
Vậy (1) có nghiệm khi và chỉ khi m = 1, (mleq 0)
Phương pháp 2: Sử dụng phương pháp khảo sát
Giả sử phương trình lượng giác chứa tham số m có dạng: g(x,m) = 0 (1). Xác định m để phương trình (1) có nghiệm (xepsilon D)
Phương pháp:
- Đặt ẩn phụ t = h(x) trong đó h(x) là 1 biểu thức thích hợp trong phương trình (1)
- Tìm miền giá trị (điều kiện) của t trên tập xác định D. Gọi miền giá trị của t là D1
- Đưa phương trình (1) về phương trình f(m,t) = 0
- Tính f’(m, t) và lập bảng biến thiên trên miền D1
- Căn cứ vào bảng biến thiên và kết quả của bước 4 mà các định giá trị của m.
Bài tập vận dụng
Bài 1: Giải các phương trình sau
a) cos(3x + π) = 0
b) cos (π/2 – x) = sin2x
Lời giải:
Bài 2: Giải các phương trình sau
a) sinx.cosx = 1
b) cos2 x – sin2 x + 1 = 0
Lời giải:
Bài 3: Giải các phương trình sau
a) cos2 x – 3cosx + 2 = 0
b) 1/(cos2 x) – 2 = 0.
Lời giải:
Bài 4: Giải các phương trình sau: (√3-1)sinx = 2sin2x.
Lời giải:
Bài 5: Giải các phương trình sau: (√3-1)sinx + (√3+1)cosx = 2√2 sin2x
Lời giải:
Trên đây là bài tổng hợp kiến thức về phương trình lượng giác của PUD. Hi vọng những chia sẻ chi tiết trên đây đã giúp các em nắm vững hơn phần kiến thức quan trọng này. Chúc các em học tốt nhé !
- Chia sẻ thêm: Chuyên đề hàm số lũy thừa, lũy thừa của một số hữu tỉ và lũy thừa ma trận