Tìm hiểu về căn thức bậc hai: Định nghĩa, Tính chất và Bài tập

Tìm hiểu về căn thức bậc hai: Định nghĩa, Tính chất và Bài tập

Trong chương trình Toán lớp 9, học sinh sẽ làm quen với dạng toán căn thức bậc hai. Đây là dạng toán sẽ xuất hiện trong đề thi vào 10 ở các mức độ khác nhau từ dễ đến khó.Để các em có cái nhìn tổng quát và chi tiết hơn về phần kiến thức này, PUD đã chia sẻ tới các em bài viết sau đây.

Định nghĩa căn thức bậc hai

Căn thức bậc hai : Với A là một biểu thức đại số, (sqrt{A}) người ta gọi là Căn thức bậc hai của A, còn A được gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức dưới căn

Căn bậc hai của một số a là một số x sao cho (x^{2}) = a, hay nói cách khác là số x mà bình phương lên thì bằng a.

ví dụ về định nghĩa căn thức bậc hai

Ví dụ về căn thức bậc hai

4 và – 4 là căn bậc hai của 16 vì (4^{2}) = ((-4)^{2}) = 16.

Tính chất của căn bậc hai

  • Mọi số thực a không âm đều có một căn bậc hai không âm duy nhất, gọi là căn bậc hai chính, ký hiệu (sqrt{a}). Ở đây, (sqrt{}) được gọi là dấu căn.
    • Ví dụ: căn bậc hai chính của 9 là 3, ký hiệu (sqrt{9}) = 3, vì (3^{2}) = 3 × 3 = 9 và 3 là số không âm.
  • Mọi số dương a đều có hai căn bậc hai: (sqrt{a}) là căn bậc hai dương và (-sqrt{a}) là căn bậc hai âm. Chúng được ký hiệu đồng thời là (pm sqrt{a}).
  • Mặc dù căn bậc hai chính của một số dương chỉ là một trong hai căn bậc hai của số đó, việc gọi “căn bậc hai” thường đề cập đến căn bậc hai chính. Đối với số dương, căn bậc hai chính cũng có thể được viết dưới dạng ký hiệu lũy thừa, như là (a^{frac{1}{2}}).
  • Hàm số căn bậc hai chính f(x) = (sqrt{x}) (thường chỉ gọi là “hàm căn bậc hai”) là một hàm số vạch ra tập hợp các số không âm. Căn bậc hai của x là số hữu tỉ khi và chỉ khi x là số hữu tỉ và có thể biểu diễn dưới dạng tỉ số căn bậc hai của hai số chính phương.
    • (sqrt{x^{2}}) = (mid xmid)
    • = x nếu (xgeq 0)
    • = -x nếu (x< 0)
  • Với hai số a và b không âm, ta có:
    • (a< b) <=> (sqrt{a}< sqrt{b}).
    • (sqrt{xy}) = (sqrt{x}). (sqrt{y})

Định nghĩa căn bậc hai của một số âm và số phức

  • Căn bậc hai của một số âm là số chỉ tồn tại trong một tập hợp bao quát hơn gọi là tập số phức.
  • Bình phương của mọi số dương và âm đều là số dương, và bình phương của 0 là 0. Bởi vậy, không số âm nào có căn bậc hai thực.
  • Một số mới, ký hiệu là i (đôi khi là j, đặc biệt trong điện học, ở đó “i” thường được dùng để mô tả dòng điện), gọi là đơn vị ảo, được định nghĩa sao cho (i^{2}) = – 1. Từ đây ta có thể tưởng tượng i là căn bậc hai của – 1, nhưng để ý rằng ((-i)^{2}) = (i^{2}) = – 1 do đó – i cũng là căn bậc hai của – 1. Với quy ước này, căn bậc hai chính của -1 là i. Hay tổng quát hơn, nếu x là một số không âm bất kỳ thì căn bậc hai chính của – x là (sqrt{-x}) = (isqrt{x})
  • Đối với mọi số phức z khác 0 tồn tại hai số w sao cho (w^{2}) = z căn bậc hai chính của z và số đối của nó.

Các dạng bài tập

Bài 1: Tính các căn bậc 2 không sử dụng máy tính bỏ túi:

A2−|A|={A nếu A≥0−A nếu A<0

Bài 2: Liên hệ giữa phép nhân và phép khia trương

Với A≥0;B≥0 thì A.B=A.B

Với A≤0;B≤0 thì A.B=−A.−B

Bài 3: Liên hệ giữa phép chia và phép khai trương

Với 

Với A≤0;B<0 thì AB=−A−B

Bài 4: Tìm điều kiện xác địng và rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

AB xác định ⇔B≠0

M xác định ⇔M≠0

Kết hợp biểu thức vừa chứa mẫu vừa chứa căn xác định khi mẫu # 0 và biểu thức trong căn ≥0.

Bài toán tìm điều kiện xác định (có nghĩa) và rút gọn biểu thức

  • Bước 1: Tìm điều kiện xác định nếu đề bài chưa cho.
  • Bước 2: Phân tích các đa thức ở tử thức và mẫu thức thành nhân tử.
  • Bước 3: Quy đồng mẫu thức.
  • Bước 4: Rút gọn

Trên đây PUD đã tổng hợp phần kiến thức về căn thức bậc hai: từ định nghĩa, tính chất đến các dạng bài tập. Hy vọng bài viết đã cung cấp cho các em những kiến thức hữu ích phục vụ quá trình học tập. Chúc các em học tốt nhé !

  • Xem thêm: Đường Parabol là gì và cách lập Phương trình Parabol ?

Trả lời

error: Content is protected !!