Toàn bộ các quy tắc bất đẳng thức Cosi cần nhớ

Toàn bộ các quy tắc bất đẳng thức Cosi cần nhớ

Bất đẳng thức Cosi là một bất đẳng thức đáng nhớ được sử dụng nhiều nhất trong các bài toán chứng minh bất đẳng thức ở trung học phổ thông.

Từ khi mới học Toán từ bậc tiểu học các em học sinh đã được làm quen với các định nghĩa trung bình cộng, trung bình nhân của 2 số dương, được học về các số a > b, x > a (a là hằng số cho trước) mà lúc đó chưa biết được rằng mình cũng đã được tiếp xúc với bất đẳng thức.

Lên cấp 2 (bậc trung học cơ sở) thì các em đã được các thầy cô dạy về như thế nào là bất đẳng thức và bất đẳng thức các em được học đầu tiên đó là bất đẳng thức Cosi hay còn có tên gọi là bất đẳng thức Cauchy.

Khái niệm về bất đẳng thức cosi

Trong toán học, người dùng tại Việt Nam rất quen thuộc với bất đẳng thức cosi, hay gọi là bất đẳng thức Cauchy. Nhưng trên thực tế, tên gọi chính xác của khái niệm này là bất đẳng thức AM-GM (Viết tắt của Arithmetic Means – Geometric Means). Người có cách chứng minh bất đẳng thức này hay nhất chính là Cauchy. Ông không phải là người phát hiện ra bất đẳng thức mà chỉ là người đưa ra cách chứng minh quy nạp điển hình nhất.

Trong lĩnh vực toán học, bất đẳng thức cosi là khái niệm dùng để chỉ bất đẳng thức so sánh giữa trung bình cộng và trung bình nhân của n số thực không âm. Trong đó, trung bình cộng của n số thực không âm luôn lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng. Trung bình cộng chỉ bằng trung bình nhân khi và chỉ khi n số đó bằng nhau.

Ví dụ: Chứng minh bất đẳng thức côsi với 2 số thực a và b không âm

Với a=0, b=0 thì bất đẳng thức luôn luôn đúng. còn với a,b lớn hơn 0, ta có thể chứng minh như sau:

Các dạng của bất đẳng thức cosi

Bất đẳng thức này được chia làm 2 loại. Đó là dạng có số cụ thể và dạng tổng quát. Cùng tìm hiểu nhé!

Bất đẳng thức dạng cụ thể

Đây là dạng bất đẳng thức với trị số n cụ thể như 2 số thực không âm, 3 số thực không âm, 4 số thực không âm,… n ở đây là những con số được xác định.

Ví dụ cụ thể:

voh.com.vn-bat-dang-thuc-cosi-anh-2

Bất đẳng thức dạng tổng quát

Đây là dạng bất đẳng thức với n là số không xác định và phải đáp ứng điều kiện là n không âm. Công thức tổng quát của nó như sau:

voh.com.vn-bat-dang-thuc-cosi-anh-1

Các hệ quả của bất đẳng thức Cauchy

Hệ quả của bất đẳng thức này rất quan trọng, được ứng dụng nhiều trong việc tìm các giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của một biểu thức. Sau đây là hai hệ quả quan trọng của bất đẳng thức này:

Hệ quả 1:

Nếu tổng hai số dương không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi hai số đó bằng nhau.

Hệ quả 2: 

Nếu tích hai số dương không đổi thì tổng của hai số này nhỏ nhất khi hai số đó bằng nhau.

Trên đây là những thông tin về khái niệm và cách phân loại bất đẳng thức cosi. Đây là dạng bất đẳng thức được ứng dụng rộng rãi trong việc chứng minh các bất đẳng thức cũng như tìm các giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức. Chính vì thế, việc nghiên cứu kỹ về loại bất đẳng thức này có ý nghĩa thiết thực đối với việc giảng dạy của các giáo viên bộ môn toán học.

Trả lời